2013年江苏高考数学真题向量与三角函数综合题经典好题

2013年江苏高考数学真题向量与三角函数综合题经典好题

大家好！本文和大家分享一道2013年江苏高考数学真题。这道题考查的是向量与三角函数的综合题，难度不算太大，但是题目非常经典，作为高中生应该掌握。接下来一起来看一下这道题。

先看第一小问：证明向量垂直。

两个向量垂直，则两个向量的数量积为零，下面介绍2种证明方法-下面用小写字母的黑体表示向量-。

证法一：

将|a-b|=√2两边平方，得到|a-b|^2=-a-b-^2=2，即a^2-2a·bb^2=2。由题意得，a^2=-cosα-^2-sinα-^2=1，b^2=-cosβ-^2-sinβ-^2=1，代入上式，整理可得到a·b=0，即a⊥b。

证法二：

a、b的坐标已知，那么可以先求出a-b的坐标，然后用向量数量积的坐标表示求解。

由题意知，a-b=-cosα-cosβ,sinα-sinβ-，则有|a-b|=√2得：√[-cosα-cosβ-^2-sinα-sinβ-^2]=√2。整理后得到，cosαcosβsinαsinβ=0。而a·b=cosαcosβsinαsinβ，即a·b=0，故a⊥b。

再看第二小问：求角。

由题意知：ab=-cosαcosβ,sinαsinβ-，而c=-0,1-且ab=c，则有：cosαcosβ=0①，sinαsinβ=1②。下面介绍3种处理方法。

解法一：

由①式得，cosα=-cosβ=cos-π-β-。由于0＜β＜α＜π，则0＜π-β＜π，即有α=π-β。则sinα=sin-π-β-=sinβ，代入②式，可得sinα=sinβ=1/2，结合α、β的范围，可以求出α=5π/6，β=π/6。

解法二：

由①^2②^2，得：22-cosαcosβsinαsinβ-=1，则cosαcosβsinαsinβ=-1/2。由两角差的余弦公式，上式即cos-α-β-=-1/2。

由α、β的范围可知，0＜α-β＜π，所以α-β=2π/3，即α=β2π/3。代入①式，整理得cosβ-√3sinβ=0，即tanβ=√3/3，从而解得β=π/6，α=5π/6。

解法三：

用和差化积公式对①、②进行处理，得到2cos[-αβ-/2]cos[-α-β-/2]=0③，2sin[-αβ-/2]cos[-α-β-/2]=1④，由③④可得cos[-αβ-/2]=0。结合α、β的范围，可知-αβ-/2=π/2。再代入④中，得cos[-α-β-/2]=1/2，则-α-β-/2=π/3。从而可以解出α、β的值。

江苏高考，数学，第15题，第16题，第17题，第18题，第19题，第20题。题目的内容分别包括哪些知识点。

15．（本小题满分14分）
在 中，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 求A的值．
16．（本小题满分14分）
F

如图，在直三棱柱 中， ， 分别是棱 上的点（点D 不同于点C），且 为 的中点．

E
求证：（1）平面 平面 ；[来源:学§科§网]
（2）直线 平面ADE．

（第16题）
D
C
A
B

17．（本小题满分14分）
如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在 第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:Zxxk***]
x（千米）
y（千米）
O
（第17题）

18．（本小题满分16分 ）
已知a，b是实数，1和 是函数 的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数 的导函数 ，求 的极值点；
（3）设 ，其中 ，求函数 的零点个数．

19．（本小题满分 16分）
A
B
P
O

x
y
（第19题）
如图，在平面直角坐标系x Oy中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
与直线 平行， 与 交于点P．
（i）若 ，求直线 的斜率；
（ii）求证： 是定值．

20．（本小题满分16分）
已知各项均为正数的两个数列 和 满足： ．
（1）设 ，求证：数列 是 等差数列；
（2）设 ，且 是等比数列，求 和 的值．

2012年的高考的大体形式就是这样，每年都差不多

向量，三角函数综合题（题目附图）

1.f(x)=(coswx)^2 + √3sinwxcoswx=1/2+(cos2wx)/2+ (√3/2)sin2wx=1/2+sin(2wx+π/6)
所以周期T=2π/2w=2π,得w=1/2; f(x）=1/2+sin(x+π/6)
当2kπ-π/2<=x+π/6<=2kπ+π/2,即2kπ-2π/3<=x<=2kπ+π/3 时f(x)为增函数；
所以f(x)的但调增区间为[2kπ-2π/3,2kπ+π/3];
2.f(x)的图像的对称轴为2wx+π/6=kπ+π/2; 即x=kπ/2w+π/6w=π/6,得w=3k+1m而0<w<2
所以w=1

三角函数+向量题！~ 急~~

解：
(1)由题意及正弦定理得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC
即2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，2sinAcosB=sin(C+B)=sinA
而0<A<π，则sinA≠0，因此2cosB=1，cosB=1/2，∠B=60°.
(2)向量m*向量n=cos(2A)-12cosA/5=2(cosA)^2)-12cosA/5-1=2(cosA-3/5)^2-43/25
当向量m*向量n取最小值时，cosA=3/5，则sinA=4/5，tanA=4/3.
∴tan(A-π/4)=(tanA-tanπ/4)/(1+tanA*tanπ/4)=(4/3-1)/(1+4/3)=1/7.