2009年江苏高考数学真题三角函数与向量经典题高中学生应掌握
大家好！本文和大家分享一道2009年江苏高考数学试卷的第一道解答题。本题综合考查了向量的计算及简单的三角恒等变换等知识，是一道非常经典的题目，对于高中学生来说，应该掌握。下面我们一起来看一下这道题。
先看第一小问：求tan-αβ-的值。
由于向量a与向量b-2c垂直，所以a·-b-2c-=0。题干中已经告诉了向量a、b、c的坐标，所以我们可以求出向量b-2c的坐标。两个向量垂直，则他们的数量积等于零，也就是对应坐标之积的和为零，这样就得到了一个关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的关系式。然后，根据两角和的正余弦公式就可以变换得到：sin-αβ--2cos-αβ-=0，从而得到tan-αβ-=2。
另外，对于a·-b-2c-=0还有另外一种处理方式，即利用向量计算的分配律展开，得到a·b-2a·c=0。然后再用向量数量积的坐标计算方法计算就可以得到tan-αβ-的值。
再看第二小问：求|bc|的最大值。
先表示出bc的坐标，然后根据向量模长的坐标计算公式即向量的模长就等于该向量横纵坐标的平方和再开方，计算出|bc|的表达式，然后再求其最大值，即求17-15sin2β的最大值，也就是求sin2β的最小值。因为sin2β的最小值为-1，所以17-15sin2β的最大值就等于17-15--1-=32，故|bc|的最大值为4√2。
另外，求向量的模长还有一个非常重要的方法就是：先平方再开方，即先算所求向量的平方，然后开方就得到了其模长。
-bc-^2=b^22b·cc^2=12-sinβcosβ-16sinβcosβ-16=17-15sinβcosβ=17-15sin2β。后面的计算就和前面的方法一样了。
最后看第三小问：证明。
因为tanαtanβ=16，而a、b中的坐标都是正余弦，所以就要用到三角恒等变换中一个非常重要的技巧：切化弦，即tanα=sinα/cosα，tanβ=sinβ/cosβ。
切化弦后得到：sinαsinβ=16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0，所以a//b。
整体来说，本题难度不大，但是却非常经典，高中学生一定要掌握。
高分悬赏：（高中数学的常用公式）：向量、函数、三角函数等；顺便说下数学的解题技巧，。（越多越好）
关于 常用的公式，你如果好好学 了的话，就不应该在说这样的话！！！
常用的公式就是你做题时候用的最熟的公式！！信手拈来饿那种！！！
关于解题技巧，
1.选择题 要首选排除法！
然后在做
2.填空题 就是硬功夫！！
算算算！！
3.解答题：多画画图 ，多用手写写，说白了就是要试验！只有不断尝试才有思路！！
4最重要的 如果你平时没有好好练 ，那一切技巧都是 白搭！！
最好的技巧就是：：：：你自己在平时积累起来的经验！！！
注意：：：只有多练 才会有技巧！！！
关于向量和三角函数 和解析式的高考数学题。求解啊。有图更好。
t表示theta：
a=(sin(x+t/2),cos(x+t/2)^2)，b=(cos(x+t/2),sqrt(3))
2a·b=2(sin(x+t/2),cos(x+t/2)^2)·(cos(x+t/2),sqrt(3))
=sin(2x+t)+2sqrt(3)cos(x+t/2)^2=sin(2x+t)+sqrt(3)(cos(2x+t)+1)
故：f(x)=sin(2x+t)+sqrt(3)(cos(2x+t)+1)-sqrt(3)
=sin(2x+t)+sqrt(3)cos(2x+t)=2sin(2x+t+π/3)
f(x)是偶函数，故f(0)=±1，当x=0时，f(x)=2sin(t+π/3)
t∈[0,π]，即：t+π/3∈[π/3,4π/3]，故f(0)只能等于1，不能等于-1
即：sin(t+π/3)=1/2，即：t+π/3=π/2，即：t=π/6
故：f(x)=2sin(2x+π/6+π/3)=2sin(2x+π/2)=2cos(2x)
x∈(0,π)，故：2x∈(0,2π)，f(x)=2cos(2x)=1
即：cos(2x)=1/2，故：2x=π/3或5π/3
即：x=π/6或5π/6
2009年江苏高考数学难么?
数学 难度比去年小，拿高分不容易
填空简单，最后大题“绕”人
“填空题，我十分钟就做完了。”人民中学考点外，梅园中学一个男生兴奋地说。他告诉记者，整张试卷总体感觉不是太难，他的后面大题第一问都做出来了，不过最后两大题的第二问都不会。“比如倒数第二大题关于‘满意度’的函数问题，光是题目就有200字左右，看完就有点晕，都绕进去了，所以就放弃了。但是‘保’基本分难度不大。”南外的理科考生张同学认为试卷前面部分难度适中，但最后40分的附加题有些难度，出现了时间不够用的情况。总体而言，考题整体难度比去年小，填空题较简单，但最后两题有些“翘尾巴”。考生普遍认为基本分拿到不难，但要拿高分着实不易。
名师点评
加大数学应用题考查力度
点评人：淮安中学特级教师 杨文举
09年高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持08年特点的同时，又力争创新与变化；试卷不仅能注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。从考生的反映来看，试题总体难度“没有想象的难”，尤其是最后一道大题，也能入手。试题有较好的梯度，注重认识能力和数学应用能力的考查，稳中求新。
一、试卷结构稳定，题型顺序有变。今年的数学试题无论是正卷还是附加卷，都与08年的试题在题量上、题型上仍保持一致，但今年将应用题放在第19题，而把数列题放在第17题，这是事先老师们没有想到的。将数列题前移并降低难度，我认为很合理，避免了学生花很多时间学习数列而难得分的现象。
二、试题强调了知识间的内在联系，注意从学科的整体高度出发，注重各部分知识的综合性、相互联系及在各自发展过程中各部分知识间的纵向联系，不靠一题把关，而是多题体现能力要求。第15题考查平面向量与三角知识的结合，题目设置了三问，注重考查运算能力，应该说对学生提出不同层次的要求；第16题考查正三棱柱中的线面平行与垂直问题，考查空间想象能力，较为常规；第17题考查数列，其中第2问体现代数认证的能力要求；第18题解析几何则考查了探索能力；与往年不同，今年最后一题考查含参数及绝对值函数，考查分类讨论的思想方法，学生还是能够入手的，当然有学生反映“入手易深究难”。
三、突出“双基”考查，强化数学思想。从内容来看，填空题中对于新增内容考查也较为全面，如复数，概率，统计，算法语言，推理方法等都有考查；解答题突出对主干知识的重点考查，六道大题仍然考的是函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何及数学应用题等重点知识。在数学思想方法上则考查了函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想等，试题考查了更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度。
四、加大数学应用题考查力度。今年高考数学题的一个很大的变化是将数学应用题放到了第五道大题(第19题)的位置，考查的应用题变量均以字母形式出现，提高了应用题的难度，这也是广大考生不太适应的，说明今年的高考试卷在知识与能力考查的同时，体现了对课改新理念的创新与发展，实际上是考查学生数学建模的能力，即既考查从数学的角度观察、思考和分析实际问题的能力，又考查相关知识和技能的理解和掌握程度，从而能比较好地反映考生对信息的接收、加工和输出能力，达到有效考查综合素质的目的。
五、正卷相对较易，附加卷试题偏难。相对于08年，今年的正卷160分相对较易一点，而今年附加卷没有考查空间向量，其中第22题第（3）问和第23题，学生得分比较困难。
改变了过去一题或两题把关的习惯
点评人：江苏省泰州中学 宋健
2009年高考数学试题，在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，贴近教学实际，体现了新课程的基本理念与要求。坚持能力立意，从多个角度、多个层次全面检测考生的数学素养和理性思维。试卷主要有以下几个方面的特点：
1.题型稳定，突出对基本知识的考查。全卷结构、题型包括难度都基本稳定，只是将数列题前移到第17题。试卷依据考试说明，突出对教材基本内容的考查。整卷试题的坡度较好地实现了由易到难，低起点、入口宽、逐步深入的格局。填空题比较平和，不需太繁的计算，考生应该感觉顺手。许多试题源于课本，略高于课本，如第1、2、3、4、5、7、11、15题等，都由课本例题、习题进行恰当变更、迁移、综合、创新整合而成，给人以似曾相识的感觉。最后6个解答题由易到难，涉及的知识内容基础、常规，入手容易，但深入有一定困难。附加题部分，选做题对知识点的考查单一，结论要求明确，学生入手较易。两道必做题对数学语言的转化以及数学思想方法有一定的要求，相对较难。
2.多题把关，有很好的区分度。第17，18题第二小问，第19题、第20题的第三问有一定的难度，改变了过去一题或两题把关的习惯，更能有效区分不同能力层次的考生群体，有利于高校选拔人才。
3．深化能力立意，知识与能力并重。全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能力。许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题，如第17题第二问，其实是恒成立问题。许多试题若能先想清楚找到合适的解题思路和方向后再动手，则解答会较容易，否则会陷入繁琐的运算之中，比如第13题，第14题。
4.关注联系，有效考查数学思想方法。试卷以朴素的数学知识为载体，综合考查最基本的数学思想和方法，体现了高考命题重实质、重内涵的指导思想，注重通性通法、淡化特殊技巧，对中学数学教学有较好的导向作用。不少试题注意在具体的情景中、在解决问题的过程中突出考查学生数学思想和数学方法。如第20题以二次函数为载体，重点考查分类谈论、数形结合思想。
5. 加强应用意识，体现"学数学、用数学"的基本思想。应用问题考查在模式识别后落脚到数学方法的运用上。第19题以生活中的满意度为背景，问题的表述较长，需要考生耐心读懂题目。但模式识别方便，考查学生将文字语言转化为数学语言的能力。
6.注重探究，创新意识增强。部分题目在考查基础知识点上有所创新，题目设计灵活。如数学卷第17题第（2）问，第18题第（2）问，都是对一个问题进行纵向探究，考查学生创新意识
高中数学三角函数和向量2
利用正弦定理将所给式子中的正弦函数转化为边的关系，即（sinB+sinC)^2-(sinA)^2=sinBsinC化为（b+c)^2-a^2=bc,再利用余弦定理b^2+c^2-a^2=2bccosA
可得bc（2cosA+1）=0，故cosA=-1/2
所以A=2/3π
初探高考数学试卷中的“五种基本能力”_高考数学试卷
在各地高考数学说明（或考试大纲）中都提到了以下五大基本能力：空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力。尽管这五大基本能力老生常谈，关于五大基本能力的培养更是仁者见仁，智者见智，但这五大基本能力在高考数学试卷中的具体体现却鲜有人提，而这五大基本能力却实实在在地体现在高考试卷中，并得到了不断的发展，其经典之处经久不衰，创新之处令人眼前一亮。现就这五大基本能力，结合历年的高考试卷进行一一探析。
一、空间想象能力
1.平面图形与立体图形的相互转化
空间想象能力的考查要求能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图想象出空间图形。这就要求学生具有化抽象为具体的能力，能够站在空间的角度研究点、线、面；要能够根据条件在脑海中构建出相应几何图形，把抽象的语言、条件直观化、图形化，将平面的图形构建成空间图形则是其中的一种。2010年山东高考理科卷选择题第3题，考查的是空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，本题属于基础题，由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。2010年陕西高考理科卷第7题是三视图问题，不仅要求考生能够构建相应的立体图形，还要求出立体图形体积。
在历年的高考试卷中，三视图、平面展开图等图形转化问题备受欢迎，原因在于此类问题能够很好地检测出学生的空间想象能力，而且难度系数不大，属于基础题。
2.立体图形中的基本元素及基本平面图形
对于空间图形，要能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解与组合。这是空间想象能力中的另一要求，不仅要求认识图形，还要能够对具体的图形进行解剖，找出其中的关键点、线、面等，要能够通过条件判断出它们之间的关系。不仅如此，还要能够将图形进行肢解，找出“基本图形”。例如，在复杂的、陌生的图形中找出“垂直、平行，三棱锥、三棱柱、正方体等”。在以往的立体几何考查试题中，我们发现，立体几何题中的第一问通常考察垂直、平行，这已经成为一种定势，目的是“将分送到考生的手上”，但第二问就有一定的变化，可以考查角、体积、表面积，也可以考察点到面的距离，如2010年江苏卷高考立体几何题、2008年北京高考理科卷第16题、2010年山东高考理科卷解答题第19题等都是常规的立体几何题，大多是求面面、线面垂直平行，接着是求夹角类问题（近年江苏卷对立体几何中的夹角问题逐步降低了要求，很少出现在高考卷中），最后是面积、体积、距离等问题，一道立体几何题几乎覆盖教材中的所有需要掌握的知识点。证明题中线面、面面垂直平行的证法是平时挂在嘴边的几个“?圯”；求夹角所用的方法大多是构建平面三角形，并解三角形等方法；载体图形大多是常见的正方体、锥体、柱体等。尽管高考立体几何题似曾相识，但考生需要在短时间内快速分析立体图形中的基本元素，并结合立体几何基本性质解决问题。
在高考中，立体几何也经常出现一些新的题型，将立体几何与其他知识结合，如将立体几何与函数、概率、复数等新课程实施后新加的内容相组合。只要基础扎实，认清本质，这类创新型题难度不是很大。如：
例1（2008年北京高考理科卷第8题）如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图像大致是（ ）
该题便是一道创新型立体几何题，它将函数图像与立体几何相结合，从立体图形中点的移动，来判断两线段长度变化情况，并选择合适的函数图像，考生需要有一定的空间想象能力，能够在大脑里动态地看立体几何的运动状态，该题答案为B。此类创新型题型在以后的高考中还将不断出现。
二、抽象概括能力
1.问题本质的探究
抽象概括能力是对实例的探索，要能够发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断。抽象概括能力可以归纳为两点：一是发现本质，二是作出判断，进而解决问题。发现本质是要求学生能够从给定的问题中发现其中会运用到的规律及相应的定理等，并准确地判断出问题的实质。这类能力需要在平时的练习中不断总结，不断归纳，形成一定的挖掘信息材料的能力。例如，2010年江苏高考卷的质，大胆往下走，题目怎么说就怎么做。另外，在很多问题中会出现各种各样的递推关系，看似很陌生的东西中蕴含大家所熟悉的知识或方法，这需要学生具有从一般的信息问题中概括出基本规律，并作出基本判断，从中寻找解决问题的方法，进而解决问题。
2.挖掘信息中的本质，并解决实际问题
《普通高中数学课程标准》提出：力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。挖掘信息中的本质则成了解决实际问题的先导，只有发现了问题的本质才能选择合适的数学工具进行解决问题，在历年的高考试题中都有此类问题的出现。如：
例2（2010年江苏高考卷第17题）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值。
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大。
本题巧妙地将三角函数与实际的测量问题相结合，考生需要从题中发现三角函数是该问题的本质，并作出判断，构建相应的三角形，进而选择三角函数中的正切来解决实际问题。此题较好地体现了新课改中“发展学生的数学应用意识”的要求。
三、推理论证能力
推理论证能力要求能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真***性。这种能力是几乎在每一道数学题中都能用到，只是由于试题的简单或者常见，大家没注意总结其思维方法罢了。然而，这种能力在开放式试题中体现得淋漓尽致。开放式问题不告诉你结论，只告诉你猜想，要你判断该命题成立与否，成立要求证明，不成立要求给出充分的理由，这就需要你通过已学的知识或者已知的结论来论证该问题是否成立。开放式题型一直是高考的热点，近年来，各地的高考试卷中都出现了此类题型。之所以热衷于此类题型，是因为它能够很好地考查学生的思维能力，从而把学生有所区分，达到选拔人才的目的。江苏卷前几年热衷于所谓开放式题型，但近两年已有所变化，不是单纯地开放，而是要求考生能够学会猜想和发掘。
例如2009年江苏卷的压轴题的第3问为：设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接写出（不需给出演算步骤）不等式h（x）≥1的解集。该问要求直接写出“解集，不要求给出演算步骤”，看似只要能够“猜对”就行，但凭空瞎猜肯定不可能得到答案，这就需要严格的推理和论证，只有建立在严密推理的基础之上的猜想才有可能“猜”正确。另外，2004年全国理科卷的数列问题对推理论证能力也有较高的要求。
四、运算求解能力
运算求解能力的要求是能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计和近似计算。运算求解能力提出了三点要求：一是会运算、变形，二是能设计合理的运算途径，三是数据估计与近似。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 1.基本运算与变形
运算、变形是数学的最基本的能力，但运算变形的要求则较高，一道试题的运算出现差错、运算时间过长或者变形出现偏差，则会导致不必要的失分或者浪费宝贵的考试时间，因此对于运算变形能力要求准确、快速、合理。每份高考数学试卷都会对基本运算和变形提出要求，甚至有专门的题型来体现运算能力，此类题的难度不是很大，主要考察考生的基本运算和变形能力。
2.最优运算途径的设计
运算途径的选择是近几年高考的另一热点，这就是经常提到的一题多解。高考数学试卷中的部分试题都是可以通过多种方法解决，但在这些方法当中有一种或两种是最优的，能够快速准确地解决问题。而其他方法虽然也能够解决问题，但运算量可能偏大，过程偏繁。这就需要考生能够设计出合理的运算途径来解决。
例如2009年江苏高考试卷中的第19题，运算、变形方法较多，但各种方法的效率却大相径庭，运算途径的选择决定了计算量、决定了解题速度。
3.数据的估计与近似计算
对数据估计与近似计算是新课程实施后另一大应用性较强的知识点，在一些地方的高考试卷中已有所体现，如近年来的陕西卷。江苏《2011年高考说明》中明确地指出“对数据的估计与近似处理”，这说明有关“估计”的内容有可能是以后高考中另一热点，我们在平时的训练中应当特别重视。
五、数据处理能力
数据处理能力要求运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题。在以往的高考试卷中也有利用统计的方法解决实际问题，但一直忽略“实际”二字，停留在人为的“实际”层面，如2009年江苏卷的第6题，2010年江苏卷的第4题。在统计概率这一章节中，往年考查随机***、古典概型、几何概型等方面偏多，今后有可能在数学期望、总体分布估计、总体特征数等方面有所侧重，因为统计的知识在日常生活中运用比较广泛，能够与生活相关联，而且在统计概率方面，总体特征数的估计已有一定要求，与古典概型处于同一要求。另外，高等数学与这些知识关联较大，备受高校欢迎。如2008年陕西高考理科卷第18题，除考查基本的概率问题外，还专门考察大学里应用较多的分布列及数学期望问题。因此，平时的训练要多留意这方面的知识，注重基本方法与思维过程。
数据处理能力未来的发展方向是不断联系生活，将生活中常见的各种统计类问题整理成数学问题，如经常听说的消费者物价指数CPI、PPI、通货膨胀等问题，不排除将此类关系民生的问题纳入以后的高考数学试卷。这就要求考生要关注时事，又要能通过数据的分析、整理进而对当前的某一现实状况作出判断。统计章节是中学数学中最“实用”的章节，能够很好地体现《普通高中数学课程标准》中的“发展学生的数学应用意识”，因此，高考中不会放弃这一“有用”的章节。
在高考数学试卷中，五种能力是相互交融，相互支撑，靠一味的模仿、看题是不能提高五大基本能力的，正如罗增儒教授所说，解决高考题的探求不是“规则的简单重复”和“操作的生硬执行”，而是需要深入地理解基本概念、定理，并对基本方法不断熟练。因此，在平时的训练中，我们应当通过解题锻炼思维，这样才能提高自己的五大基本能力。
参考文献
[1] 罗增儒.2010年高考数学陕西卷理科第20题剖析（续）.中学数学教学参考（上旬），2010（9）.
[2]江苏省教育考试院制订.2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）说明.南京：江苏教育出版社，2010.
[3] 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）.北京：人民教育出版社，2003.
（责任编辑刘永庆）
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