2008年高考数学压轴题导数与三角函数综合题难住不少学霸
大家好！本文和大家分享一下这道2008年高考全国2卷理科数学的压轴题。这道题综合考查了导数的计算、导数与函数单调性、导数与函数最值、三角函数图像与性质、简单的放缩法等知识。这道题的难度还是不小，特别是第二小问难住了很多的学霸。
先看第一小问：求函数的单调区间。
在高中阶段，求函数单调区间的常用方法有定义法、图像法、单调性的常见性质、复合函数法、导数法，遇到比较复杂但给出了解析式的函数，我们通常可以用导数法来求函数的单调区间。
于是我们先对f-x-求导。本题需要用到的常见函数的导数及法则有：-sinx-'=cosx、-cosx-'=-sinx、-v/u-'=-v'u-vu'-/u^2，其中u、v表示函数。对f-x-求导，得到f'-x-=-2cosx1-/-2cosx-^2。
接下来就需要通过导数的正负来确定函数的单调性。由于-2cosx-^2一定为正，所以f'-x-的正负就取决于分子2cosx1的正负。根据余弦函数图像与性质或者用余弦线可知，当2kπ-2π/3＜x＜2kπ2π/3时，cosx＞-1/2，此时f'-x-＞0，f-x-为增函数；当2kπ2π/3＜x＜2kππ4π/3时，cosx＜-1/2，此时f'-x-＜0，f-x-为减函数。
再看第二小问：求参数a的取值范围。
看到求参数a的取值范围，很多同学就想到了参变分离。确实，参变分离是求参数取值范围的重要方法，但是本题如果要用参变分离的方法，新得到的函数处理起来非常复杂，有兴趣的同学可以自己试一下。
参变分离处理起来太复杂，所以我们直接将原不等式移项，然后构造出一个新函数g-x-=ax-f-x-。接下来我们就只需要讨论a的取值范围，使得g-x-的最小值都大于等于零即可。
先对g-x-求导，并整理可得g'-x-=3[1/-2cosx--1/3]^2a-1/3。
在分类讨论时，我们首先找出g'-x-恒为正或恒为负的情况。由于[1/-2cosx--1/3]^2≥0，所以只要a-1/3≥0，即a≥1/3时，恒有g'-x-≥0，即此时g-x-为增函数，所以有g-x-≥g-0-=0，满足条件。
当0＜a＜1/3时，此时可以用隐零点的方法得到在-0,π-内一定存在x0使得g-x0-＜0，从而不满足条件。用隐零点的方法做起来也比较复杂，所以我们还可以***用放缩法求解。即sinx/-2cosx-＞sinx/3，所以如果有sinx/3＞ax，显然就不满足条件了。
当a≤0时，很容易得到不满足条件的x的值。
这道题的第一小问难度不大，第二小问难度还是比较大的。
另外，很多同学在第二小问还犯了一个错误：那就是将原不等式等价于了f-x-的最大值小于等于了ax的最小值。你能发现错在哪儿吗？
08年江西数学高考理科最后一题是否包括0
2008年江西高考理科数学最后一题是压轴题，是导数大题。这道题目非常难，即使是作为竞赛题目也是难度非常大的。这样的题目不适合出现在高考试卷上面。这道题的第二问尤其更难。很多高中数学老师都做不出来。当年很多高考生都被这道题搞糊涂了。
08年高考山西卷数学点评：意新难度有增加
2008年高考数学全国1卷(山西卷)分析
作者：太原第二外国语学校高级教师 田生文
今年的数学试题整体充分贯彻了全国高考数学《考试大纲》的基本精神，立足现行高中数学教材，注重基础知识考查,突出能力立意, 虽然相比2006年、2007年难度上有所提高，但试题难度仍然适中。
同时，文理数学试题都没有偏题、怪题，而且题目多是立意新颖，“把关点”多，有利于高校选拔人才，应该说是一份好题。可以说，今年的试题虽然有一定的难度，但预计将有较好的区分度。
重视基础 保持稳定有创新
总体来讲，试题源于教材，又高于教材，突出考查数学思想方法和数学能力。其中，题型、题量和2007年完全相同，但是难度上有所提高，学生平均考分可能低去年15分左右。
同时，试题没有大起大落，有利于高校选拔人才，有利于高中数学教学，稳中有新，稳中有进。在“难大家都难”的情况下，平时灵活运用、不生搬硬套的考生将会“沾点光”。
今年原则 重点知识重点查
除了***与简易逻辑、文理科统计涉及内容较少外，其他大部分知识点都有考查。其中，解析几何比重较大，从这一点来看，这份试题体现出重点知识重点考查的原则。
另外，今年，文理科数学试题各部分知识点中，考查分值的分布情况如下表所示：
学科 函数 三角 数列 向量 立体几何 解析几何 概率 导数 其他
文科 15 20 17 5 22 32 12 17 10
理科 20 15 17 5 22 32 12 17 10
文理差异 与去年大致相当
今年的数学试题文理科相近、相同的题目比较少。总体来讲，文理科均有22个题，其中，大题中有两个题相同，小题中仅有6个相同。相比2006年，差异较大，与2007年大致相当。
试题中，所有考查范围不同的题目，单从难度上来讲，相比前两年，文科比理科容易程度更明显。另外，文理科试题顺序上也有差异。简单来说，适合于文、理科考生的易、中、难搭配更趋合理。
试题特点 主要集中在7大类
大部分题目可在教材中找到原型；入手较容易，但得高分不易；设问有创新；知识交汇的考查题目较多；解题方法呈多样性；注重基本运算能力；对审题要求高
试题源于教材，又高于教材，大部分题目在教材中可以找到原型
如文科(3)题、理科(5)题，在教材向量章节的例题中可以找到原型；文理科(13)题，在线性规划这一节当中，到处可见这种题型。
据不完全统计，像这样“有原型”的题目大约占到试题总量的三分之一以上。
同时，这些题目难度上比教材有所提高。
部分题目起点低，入手比较容易，而且入口广，但是结尾要求高，得高分不容易
如文理科的第(18)题，第一问比较容易，仅考查三垂线定理，但第二问就考查空间想象能力，要求比较高；文科的第(21)题、理科的第(19)题，第一问仅考查函数的单调性，相对容易，但第二问就不这么简单了，不但考查学生的基本运算能力，还要考查考生的逆向思维能力，和数形结合的数学思想方法，要求比较高。
立意新颖、设问有创新
如文理科第(14)题，考查平移后的抛物线焦点、三角形面积；文理科第(20)题，题目背景与实际联系紧密，比较新颖，但是考查的仍然是数学基础知识和基本方法。
学科内知识之间的联系加强，出现知识交汇的考查题目较多
如文科第(2)题，既考查变量与变量之间的关系，又考查变量和图像之间的关系。
像这样的题目还有很多，比如文科第(4)、(10)、(14)、(15)、(21)、(22)题；理科第(2)、(9)、(11)、(14)、(15)、(17)、(19)、(21)、(22)题。
注重对考生数学思想方法的考查，考查学生将来学习的潜能，试题解题方法呈多样性
如文理科第(17)题，既可以从正弦、余弦定理入手，也可以从三角形射影定理入手；文科第(22)题、理科第(21)题，既可以运用点到直线的距离公式，又可以通过求交点、求距离的方法解题，用角平分线定理求解更简捷。
总的来说，涉及数形结合、函数与方程等数学思想方法的题目很多。这样一来，灵活多变的题目增多，陈题、旧题相应变少了，考前给学生的种种猜题、押题的方法也就不那么“灵验”了。实际上，更应注重的是，考生数学基础知识、基本方法的培养。
注重基本运算能力的考查
试题普遍运算量比较大，尽管如此，如果方法适当，并且合理运用数学公式，运算量就会大大减小。
比如文理科第(17)题，运用三角形射影定理就比较简单，运算量还很小；文科第(22)题，理科第(21)题，运用角平分线定理和圆锥曲线定义解答，运算量就很小了。
需要说明的是，今年的试题选择、填空较2006、2007年运算量有所提高，这是学生们感觉试题较难的原因之一。
另外，选择、填空题与以往比较，“送分题”相对少了，整个试题基本上没有一道题一看就可以得出结果的，这也是对学生心理素质的一种考查。
此外，压轴题综合性较强，还对考生的运算能力、推理能力提出了更高的要求。
阅读量大，对审题要求高
如文理科的第(20)题，好多学生反映读不懂题，不理解题意，从而无从下手，真正理解了题意，才发现这道题其实一点儿也不难。另外，部分小题也是这样的。
