1991年高考数学压轴题当年难住很多考生现在依然是常考题
大家好！本文和大家分享一下这道1991年高考数学压轴题。1991年高考数学试卷除了全国卷，当年高考湖南云南海南三省还有一套专用卷，本文分享的这道压轴题是全国卷的压轴题。这道题在当年可是难住了很多考生，即使过了几十年，本题也依然属于常考题型。
这道题综合考查了双曲线的标准方程、直线方程、直线间的位置关系、直线与双曲线的位置关系以及弦长公式等知识。求解这道题，我们需要先设出双曲线的方程，然后表示出直线的方程，并将两个方程联立起来得到一个关于x或y的一元二次方程，再由韦达定理得到两根和与积的表达式。下面详细讲解。
由于双曲线的中心在坐标原点，而且焦点在x轴上，那么可以设双曲线的标准方程为：(x/a)^2-(y/b)^2=1。由于直线过右焦点且斜率为√(3/5)，所以根据点斜式方程可得直线PQ的方程为：y=√(3/5)(x-c)，其中c=√(a^2b^2)。将直线PQ的方程代入双曲线方程，消去y，整理后得到：(5b^2-3a^2)x^26a^2cx-(3a^2c^25a^2b^2)=0①。
由于点P、Q是直线与双曲线的两个交点，所以5b^2-3a^2≠0。因为当5b^2-3a^2=0时，直线PQ与双曲线只有一个交点，这与题意不合。然后设点P、Q的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则x1、x2就是方程①的两个根，所以由韦达定理可得：x1x2=-6a^2c/(5b^2-3a^2)，x1x2=-(3a^2c^25a^2b^2)/(5b^2-3a^2)。
由于OP⊥OQ，也就是说两个向量的数量积为零，即x1x2y1y2=0。又点P、Q在直线上，所以把y1、y2用x1、x2表示出来，再代入上面的式子整理得到：8x1x2-3c(x1x2)3c^2=0。再将由韦达定理得到的式子以及c^2=a^2b^2代入，整理后得到3a^48a^2b^2-3b^4=0。因式分解，得(3a^2-b^2)(a^23b^2)=0，从而得到b^2=3a^2。
又由于|PQ|=4，所以由弦长公式可以得到√(13/5)√[(x1x2)^2-4x1x2]=4，整理得(x1x2)^2-4x1x2-10=0。再将韦达定理得到的式子及c^2=a^2b^2、b^2=3s^2代入，解得a^2=1，b^2=3。从而得到所求双曲线的方程。
另外，OP⊥OQ也可以用斜率之积为-1来处理，最终得到的结果是一样的。而|PQ|=4也可以用两点间距离公式求解，只是过程更加复杂一些。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
为什么高考史上最难的2张数学卷子，一张看哭了学霸，一张让院士直摇头？
从1***7年9月恢复高考以来，已经过了43年的时间了。试卷的考题比之于过去有的很大的改动，毕竟知识在进步，题目自然也有变化。很多考生都曾感叹，高考唯一不变的依旧是那么的难。是的，要想在高考这座独木桥上走在前列，非得有点真本事不可。但是如果你遇到的是这两张数学试卷，就算有真本事也难免会让人崩溃。
第一张：1984年数学卷
这一年的高考已经离我们比较远了，很多人不知道这一年高考试题有了一次很大的改动，尤其是数学组，还提出了“出活题，考基础，考能力”这样的口号，意思就是要加大难度，因此造就了高考历史上最难的一张试卷。
这张试卷到底有多难呢？向来数学成绩名列前茅的安徽省，平均分是28分，而北京的平均分是17分，全国的平均分也只有26分。
有这么难吗？一位资深的数学老师不信，于是高考结束之后找了一份自己写，结果只得了84分。看这分数感觉还是很不错的，但也就是说很多题目连老师也不会写。
很多学霸自信满满的走进了考场，但是看到这份试卷后顿时呆住了，这样的难度，一道题做下来少也要十几分钟，就算做完了心里都有底，最后很多人题目没做完，连检查也没有检查，很多学生在考试结束后都流下了委屈的眼泪。
后来理科综合成绩一直名列前茅的安徽省，召集了750名学生做了一次样本调查。结果这750名学生做1984年的数学卷的成绩也低到让人难以置信，其中分数在50以下的占了81.5%，而分数在20分以下的都占了9.8%。这哪里是考试题，这分明是高等奥数题。
这也难怪，当年的媒体都看不下去了，纷纷发文痛批试卷难度太高、试题偏刁、分配不均等问题。不过你难我也难大家都难，相对而言还是公平的。
第二张：2008年江西数学卷
这一年的江西数学卷已经够难的了，但是着重要圈出来的是一张最后一道压轴题。这道压轴题有14分之多，看上去很诱人的。但是整个江西省2008年考生，竟然没有一个人全部答对的。三十万人在这道题上的平均得分只有0.31分。
根据当时一位考生透露，他同学是学校有名的学霸，尤其是在奥数方面拿了很多次奖，他同学用了不到一个小时便将试卷其他题目都做完了，然而这最后一题他却花了整整一个小时，最后也没有全部做对。别说学生们了，就连中科院院士知名数学家张景中，都惊动了亲自来会了会这道题，陈院士看后却连连摇头。
陈院士摇头并不是因为他不会做，而是他认为这样高难度的题目不应该出现在试题中，而是应该放在数学竞赛中，后来陈院士还给出了一份标准答案，整整一页纸那么多。但是很多考生看后还是觉得不懂，由此可见这道题的难度。想必这件之后，十几年里也不会再出这样高难度的考题了。
名师支招：如何攻克高考数学压轴题
首先同学们要正确认识压轴题。
压轴题主要出在函数，解几，数列三部分内容，一般有三小题。记住：第一小题是容易题！争取做对！第二小题是中难题，争取拿分！第三小题是整张试卷中最难的题目！也争取拿分！
其实对于所有认真复习迎考的同学来说，都有能力与实力在压轴题上拿到一半左右的分数，要获取这一半左右的分数，不需要大量针对性训练，也不需要复杂艰深的思考，只需要你有正确的心态！信心很重要，勇气不可少。同学们记住：心理素质高者胜！
以2009年的上海高考数学卷的压轴题为例，分析其中一半左右分值的易得分部分，谈一谈解题心态。同学可以再做一下2010年的高考卷最后一题，或者今年二模卷的最后一题，能否拿到比以往更多的分数。
第二重要心态：千万不要分心。
其实高考的时候怎么可能分心呢？这里的分心，不是指你做题目的时候想着考好去哪里玩。高考时，你是不可能这么想的。你可以回顾高三以往考试，问一下自己：在做最后一道题目的时候，你有没有想“最后一道题目难不难？不知道能不能做出来”“我要不要赶快看看最后一题，做不出就去检查前面题目”“前面不知道做的怎样，会不会粗心错”……这就是影响你解题的“分心”，这些就使你不专心。
专心于现在做的题目，现在做的步骤。现在做哪道题目，脑子里就只有做好这道题目。现在做哪个步骤，脑子里就只有做好这个步骤，不去想这步之前对不对，这步之后怎么做，做好当下！
第三重要心态：重视审题。
你的心态就是珍惜题目中给你的条件。数学题目中的条件都是不多也不少的，一道给出的题目，不会有用不到的条件，而另一方面，你要相信给出的条件一定是可以做到正确答案的。所以，解题时，一切都必须从题目条件出发，只有这样，一切才都有可能。
在数学家波利亚的四个解题步骤中，第一步审题格外重要，审题步骤中，又有这样一个技巧：当你对整道题目没有思路时，步骤(1)将题目条件推导出“新条件”，步骤(2)将题目结论推导到“新结论”，步骤(1)就是不要理会题目中你不理解的部分，只要你根据题目条件把能做的先做出来，能推导的先推导出来，从而得到“新条件”。步骤(2)就是想要得到题目的结论，我需要先得到什么结论，这就是所谓的“新结论”。然后在“新条件”与“新结论”之间再寻找关系。一道难题，难就难在题目条件与结论的关系难以建立，而你自己推出的“新条件”与“新结论”之间的关系往往比原题更容易建立，这也意味着解出题目的可能性也就越大！
最高境界就是任何一道题目，在你心中没有难易之分，心中只有根据题目条件推出新条件，一直推到最终的结论。解题心态也应当是宠辱不惊，不以题目易而喜，不以题目难而悲，平常心解题。
最后还有一点要提醒的是，虽然我们认为最后一题有相当分值的易得分部分，但是毕竟已是整场考试的最后阶段，强弩之末势不能穿鲁缟，疲劳不可避免，因此所有同学在做最后一题时，都要格外小心谨慎，避免易得分部分因为疲劳出错，导致失分的遗憾结果出现。
